多重积分学习自测

引子 ​

多重积分最容易混乱的地方，不是公式本身，而是三个问题混在一起：算的对象是什么，积分区域怎么写，应该选什么坐标或积分次序。

把它拆开看，多重积分其实就是一句话：在一个区域上，把“函数值 × 微元”不断累加。二重积分是在平面区域上累加，三重积分是在空间区域上累加，曲面积分则是在曲面上累加。

这篇主要整理多重积分的知识框架和常见解题技巧，也把原来写到的曲面微元 $dS$ 放进来，作为多重积分相关公式的一部分理解。

正文 ​

1. 先抓住多重积分的本质 ​

二重积分：

$${\iint }_{D}f(x,y)dA$$

这里的 $D$ 是平面区域，$dA$ 是面积微元。若用直角坐标，通常写成 $dxdy$ 或 $dydx$。

如果 $f(x,y)\ge 0$，二重积分可以理解成曲面 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上方围成的体积：

$$V={\iint }_{D}f(x,y)dA$$

如果 $f(x,y)$ 有正有负，它表示带符号的累加量。此时不要只想“体积”，更应该想“总量”。

三重积分：

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dV$$

这里的 $\mathrm{\Omega }$ 是空间区域，$dV$ 是体积微元。如果 $f=1$，三重积分就是区域体积：

$$V={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}1dV$$

更一般地，如果 $f$ 表示密度，那么积分结果就是质量；如果 $f$ 表示某种分布量，那么积分结果就是总量。

2. 二重积分的两种区域写法 ​

做二重积分，第一步通常不是急着算，而是先把区域 $D$ 写清楚。

第一类区域是纵向切片：

$$D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\}$$

对应积分：

$${\iint }_{D}f(x,y)dA={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$$

这种写法的意思是：先固定 $x$，让 $y$ 从下边界扫到上边界。

第二类区域是横向切片：

$$D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)\}$$

对应积分：

$${\iint }_{D}f(x,y)dA={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx$$

这种写法的意思是：先固定 $y$，让 $x$ 从左边界扫到右边界。

解题时要重点看哪种切片边界更少、更自然。如果一个方向切过去会把区域分成好几段，通常就考虑换积分次序。

3. 改变积分次序的基本方法 ​

改变积分次序的题，一般按下面四步走：

1. 从原积分限反推出区域 $D$；
2. 画出边界曲线和交点；
3. 重新选择横切或竖切；
4. 写出新外层变量范围和内层变量范围。

例如：

$${\int }_0^{1}dx{\int }_x^{1}f(x,y)dy$$

它表示：

$$0\le x\le 1,x\le y\le 1$$

也就是三角形区域：

左图沿纵向从 $y=x$ 积到 $y=1$；右图沿横向从 $x=0$ 积到 $x=y$。图中的彩色线段对应内层积分的范围。

$$0\le y\le 1,0\le x\le y$$

所以可以改写为：

$${\int }_0^{1}dy{\int }_0^{y}f(x,y)dx$$

技巧是：不要在脑子里硬换，先把区域画出来。重积分的积分限本质上是图形语言。

4. 极坐标换元 ​

当区域或函数出现圆、圆环、扇形、$x^2+y^2$ 时，优先考虑极坐标：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

面积微元不是 $drd\theta$，而是：

$$dA=rdrd\theta$$

所以：

$${\iint }_{D}f(x,y)dA={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$$

这里最容易漏掉的就是系数 $r$。它来自坐标变换的雅可比行列式：

$$\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right|=r$$

常见适用场景：

• 区域是圆：$x^2+y^2\le R^2$，写成 $0\le r\le R$；
• 区域是圆环：$a^2\le x^2+y^2\le b^2$，写成 $a\le r\le b$；
• 函数含 $x^2+y^2$，换成 $r^2$ 后更简单；
• 区域关于原点或坐标轴对称，极坐标能减少分段。

5. 三重积分 ​

三重积分的关键还是区域 $\mathrm{\Omega }$。常见坐标有三种。

直角坐标：

$$dV=dxdydz$$

适合长方体、柱体、由平面围成的区域，或者边界本来就是 $x,y,z$ 的函数。

柱坐标：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=z$$

体积微元：

$$dV=rdrd\theta dz$$

适合绕 $z$ 轴对称的空间区域，比如圆柱、圆锥、旋转抛物面：

$$x^2+y^2=r^2$$

球坐标：

$$x=\rho \sin \phi \cos \theta ,y=\rho \sin \phi \sin \theta ,z=\rho \cos \phi$$

体积微元：

$$dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta$$

适合球、球壳、圆锥和球面组合出的区域：

$$x^2+y^2+z^2={\rho }^2$$

记忆方式：

• 圆相关的平面问题：极坐标；
• 圆柱或绕轴旋转的空间问题：柱坐标；
• 球、球壳、锥面夹球面：球坐标。

6. 三重积分的投影法：先一后二与先二后一 ​

三重积分除了选坐标，还要会选积分结构。常见说法里，“先一后二”和“先二后一”不是两个新公式，而是两种安排积分次序的思路。

“先一后二”也叫投影法：先对一个变量积分，再在投影区域上做二重积分。最常见的是先对 $z$ 积分，再把空间区域投影到 $xOy$ 平面。

如果空间区域可以写成：

$$\mathrm{\Omega }=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)\}$$

那么：

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dV={\iint }_{D}dxdy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$

这就是“先一后二”：先算里面的一重积分，再算外面的二重积分。

它适合这类题：

• 上下曲面容易写成 $z=z(x,y)$；
• 投影到 $xOy$ 平面后区域 $D$ 比较简单；
• 题目说“由两个曲面上下夹住”，或者明显能看出上、下边界。

具体步骤可以固定成四步：

1. 先找上曲面 $z_{\text{上}}$ 和下曲面 $z_{\text{下}}$；
2. 把空间区域投影到一个坐标平面，常用 $xOy$；
3. 写出投影区域 $D$ 上的二重积分；
4. 如果投影到 $xOy$ 很复杂，就换成投影到 $yOz$ 或 $xOz$。

例如区域由：

$$z=0,z=4-x^2-y^2$$

围成。它的上曲面是 $z=4-x^2-y^2$，下曲面是 $z=0$，投影区域满足：

$$x^2+y^2\le 4$$

所以：

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dV={\iint }_{x^2+y^2\le 4}dxdy{\int }_0^{4-x^2-y^2}f(x,y,z)dz$$

如果再换成极坐标，就是：

$${\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{2}rdr{\int }_0^{4-r^2}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)dz$$

“先二后一”也叫截面法：先固定一个变量，把空间区域切成一张张平面截面；先在每个截面上做二重积分，再对这个固定变量积分。

可以写成：

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dV={\int }_a^{b}dt{\iint }_{D_t}f(x,y,z)dA$$

这里的 $t$ 可以是 $x$、$y$ 或 $z$，$D_t$ 表示固定 $t$ 后得到的截面区域。

它适合这类题：

• 截面面积或截面区域随某个变量变化得很清楚；
• 区域是球、圆锥、旋转体，或者题目直接给出截面信息；
• 被积函数在截面上比较容易积分。

求体积时尤其常见：

$$V={\int }_a^{b}A(t)dt$$

其中 $A(t)$ 是固定 $t$ 时的截面面积。

例如球体：

$$x^2+y^2+z^2\le R^2$$

固定 $z=t$ 时，截面是圆：

$$x^2+y^2\le R^2-t^2$$

截面面积为：

$$A(t)=\pi (R^2-t^2)$$

所以球体体积可以写成：

$$V={\int }_{-R}^R\pi (R^2-t^2)dt$$

如果是一般函数 $f$，则写成：

$${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)dV={\int }_{-R}^{R}dz{\iint }_{x^2+y^2\le R^2-z^2}f(x,y,z)dxdy$$

选择方法时，可以按下面几句话判断：

• 上下界清楚，选“先一后二”；
• 截面规律清楚，选“先二后一”；
• 轴对称明显，优先考虑柱坐标或球坐标；
• 区域难画时，先画投影或截面，不要急着列积分。

7. 对称性 ​

如果区域关于某条轴、某个平面或原点对称，就先观察被积函数的奇偶性。

二重积分中，若区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，且 $f(x,y)$ 关于 $x$ 是奇函数：

$$f(-x,y)=-f(x,y)$$

则：

$${\iint }_{D}f(x,y)dA=0$$

如果 $f$ 是偶函数：

$$f(-x,y)=f(x,y)$$

则可以只算一半区域，再乘以 2。

三重积分同理。比如区域关于 $x=0$ 对称，而被积函数含一个单独的 $x$ 因子，常常可以直接判断积分为 0。

做题时可以先问自己一句：区域对称吗？函数在这个对称方向上是奇函数还是偶函数？这个检查很快，但经常能省掉大量计算。

8. 常见题型与处理思路 ​

第一类是求面积或体积。

面积：

$$S={\iint }_{D}1dA$$

体积：

$$V={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}1dV$$

如果是曲顶柱体体积，则常写成：

$$V={\iint }_D[z_{\text{上}}(x,y)-z_{\text{下}}(x,y)]dA$$

如果三维区域的上下曲面清楚，可以用“先一后二”：

$$V={\iint }_{D}dxdy{\int }_{z_{\text{下}}(x,y)}^{z_{\text{上}}(x,y)}1dz$$

如果截面面积 $A(t)$ 更容易看出来，可以用“先二后一”：

$$V={\int }_a^{b}A(t)dt$$

第二类是求质量、质心、转动惯量。

质量：

$$m={\iint }_D\rho (x,y)dA$$

质心：

$$\overline{x}=\frac{1}{m}{\iint }_{D}x\rho (x,y)dA,\overline{y}=\frac{1}{m}{\iint }_{D}y\rho (x,y)dA$$

如果是三维区域，就把二重积分换成三重积分，并补上 $\overline{z}$。

第三类是改变次序、投影法或换元。

这类题的核心不是积分技巧，而是区域识别。二重积分先看横切还是竖切；三重积分先看“先一后二”还是“先二后一”；再决定是直角坐标、极坐标、柱坐标还是球坐标。

第四类是含参数或特殊函数的积分。

如果直接积分很难，可以尝试：

• 交换积分次序；
• 用投影法写成“先一后二”；
• 用截面法写成“先二后一”；
• 利用对称性；
• 把区域换成更自然的坐标；
• 把被积函数拆成奇偶部分；
• 先积容易的变量。

9. 曲面微元 $dS$ 的理解 ​

原来这篇笔记里重点写的是曲面微元公式。它虽然属于曲面积分，但思路和多重积分一致：先找到微元，再把微元上的量累加。

设曲面为：

$$z=f(x,y)$$

我们可以把空间中的一小块曲面 $dS$ 看成一个倾斜的微小平行四边形，而 $dxdy$ 是它在 $xOy$ 平面上的投影。

当 $x$ 增加 $dx$、$y$ 不变时，曲面上对应的切向量近似为：

$$\overrightarrow{a}=(dx,0,z_{x}dx)$$

当 $y$ 增加 $dy$、$x$ 不变时，曲面上对应的切向量近似为：

$$\overrightarrow{b}=(0,dy,z_{y}dy)$$

这两个向量张成的平行四边形面积就是曲面微元：

$$dS=|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|$$

计算外积：

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ dx& 0& z_{x}dx\\ 0& dy& z_{y}dy\end{array}\right|=(-z_x,-z_y,1)dxdy$$

所以：

$$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$$

也就是：

$$dS=\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy$$

这个根号项可以理解成“曲面相对于投影面积的放大倍数”。曲面越陡，实际面积 $dS$ 相比投影面积 $dxdy$ 就越大。

如果曲面写成其他形式，也有对应公式：

$$x=g(y,z)\Rightarrow dS=\sqrt{1+x_y^2+x_z^2}dydz$$$$y=h(x,z)\Rightarrow dS=\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}dxdz$$

更统一的记法是参数方程。若曲面为：

$$\overrightarrow{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$

则：

$$dS=|{\overrightarrow{r}}_u\times {\overrightarrow{r}}_v|dudv$$

所以记住一句话就够了：曲面微元就是两个切向量叉乘的模。

10. 解题技巧清单 ​

做多重积分题，可以按这个顺序检查：

1. 看积分对象：求面积、体积、质量，还是普通函数累加；
2. 看区域形状：矩形、三角形、圆、圆环、柱、球、锥；
3. 看坐标选择：直角、极坐标、柱坐标、球坐标；
4. 看三重积分结构：上下界清楚用“先一后二”，截面规律清楚用“先二后一”；
5. 看能否利用对称性：奇函数积分为 0，偶函数可乘倍数；
6. 看积分次序：内层变量的上下限是否简单；
7. 看微元系数：极坐标有 $r$，柱坐标有 $r$，球坐标有 ${\rho }^2\sin \phi$；
8. 看边界交点：分段区域一定要先求交点；
9. 看结果量纲：面积、体积、质量的结果是否符合直觉。

最常见的错误也基本集中在这几处：

• 忘记极坐标或柱坐标里的 $r$；
• 球坐标漏掉 $\sin \phi$；
• 积分次序换了，但区域没有重新画；
• 上下边界写反；
• “先一后二”时投影区域写错；
• “先二后一”时忘记截面区域会随固定变量变化；
• 外层变量范围取错；
• 对称性判断了区域，却忘记判断函数；
• 曲面积分中把 $dxdy$ 直接当成 $dS$。

收尾 ​

多重积分的核心不是背很多公式，而是把“区域、微元、被积函数”三件事分清楚。区域决定积分限，坐标决定微元，被积函数决定累加的量。

真正做题时，先画区域，再选坐标，最后计算。只要这三步稳住，二重积分、三重积分和曲面积分就不会显得特别乱。